nilai maksimum dan minimum

Kalkulus Nilai Maksimum dan Minimum dalam suatu Interval

Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalh guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombonasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang doter akan menentukan dosis obat yang terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit.Kita mulai dengan memperkenalkan sesuatu kosakata yang tepat.

Definisi Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa : i f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S; ii f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤ f(x) untuk semua x di S; iii f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Pertanyaan Eksistensi Apakah f mempunyai nilai maksimum atau minimum pada S? Jawabnya tergantung, pertama-tama pada himpunan S tersebut. Ambilah f(x) =1/x pada S= (0,∞); fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum ataupun minimum (Gambar 2). Sebaliknya, fungsi yang sama pada S = [1,3] mempunyai nilai maksimum f(1) = 1 dan nilai minimum f (3) = ⅓. Pada S = (1,3], f tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum f(3) = ⅓.Jawaban juga tergantung pada tipe fungsi. Ambilah funsi tak kontinu g (gambar 3)x jika 1≤x≤2yang didefinisikan oleh g(x) = { x-2 jika 2≤x≤3Pada S = [1,3], g tidak mempunyai nilai maksimum (menjadi cukup dekat ke 2 tetapi tidak pernah mencapainya). Tetapi, g mempunyai nilai minimum g(2) = 0.

Teorema A (Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Dimana Terjadinya Nilai-Nilai Ekstrim? Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dari sembilan tipe yang dibahas dalam pasal 3 . Beberapa dari selang ini memuat titik-titik ujung; beberapa tidak. Misanya, I = [a,b] memuat titik ujung dua-duanya.; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak mempunyai titik ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selangtertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung (lihat gambar 4).Jika c sebuah titik pada mana f’ (c) = 0, kita sebut c titik stasioner. Nama itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stasioner, grafik f mendatar, karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim sering kali terjadi pada titik-titik stasioner (lihat gambar 5).Akhirnya, jika c adalah titik dalam dari I di mana f’tidak ada, kita sebut c titik singular. Ini merupakan titik di mana garafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal, atau mungkin berupa lompatan. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular (Gambar 6).Ketiga jenis titik ini (titik ujung, titik stasioner dan titik singular) merupakan titik kunci dari teori maks-min. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi f yang termasuk salah satu dar tiga tipe ini disebut sebuah titik kritis f.

Teorema B (Teorema titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik eksterim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu : i titik ujung dari I; ii titik stasioner dari f(f’(c) = 0; iii titik singular dari f(f’(c) tidak ada)

Bukti Pandang kasus pertama di mana f(c) adalah nilai maksimum f pada I dan andaikan bahwa c bukan titik ujung ataupun titik singular. Akan cukup untuk memperlihatkan bahwa c adalah titik stasioner.
Sekarang, karena f(c) adalah nilai maksimum, f(x)≤f(c) untuk semua x dalam I,yaitu :f(x) – f(c) ≤ 0Jadi jika x <>1. f(x) – f(c) ≥ 0x – csedangkan jika x > c, maka2. f(x) – f(c) ≤ 0x – cApakah yang dimaksud dengan nilai-nilai ekstrim? Engingat teorema Adan B, sekarang kita dapat menyatakan suatu prosedur yang sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.
Langkah 1 Carilah titik-titik kritis dari f pada I
Langkah 2 Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum dan yan terecil adalah nilai minimum
..